Question

已知曲線C的方程是y=x²-2x+2．
（1）求曲線C關(guān)于點(diǎn)（-2，1）對(duì)稱的曲線C₁的方程；
（2）求曲線C關(guān)于直線x-y-3=0對(duì)稱的曲線C₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在曲線C₁的上任意取一點(diǎn)A（x，y），則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)（-2，1）對(duì)稱的點(diǎn)B（-4-x，2-y）在曲線C：y=x²-2x+2上，求得曲線C₁的方程．
（2）在曲線C₂上任意取一點(diǎn)M（x，y），設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線x-y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為N（a，b），利用垂直、和中點(diǎn)在對(duì)稱軸上這兩個(gè)條件求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入曲線C的方程化簡(jiǎn)可得曲線C₂的方程．

解答： 解：（1）在曲線C₁的上任意取一點(diǎn)A（x，y），則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)（-2，1）對(duì)稱的點(diǎn)B（-4-x，2-y）在曲線C：y=x²-2x+2上，
故有2-y=（-4-x）²-2（-4-x）+2，即 y=-x² -16x-24．
（2）在曲線C₂上任意取一點(diǎn)M（x，y），設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線x-y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為N（a，b），則由題意可得點(diǎn)N在在曲線C：y=x²-2x+2上．
由

b-y a-x ×1=-1 a+x 2 - b+y 2 -3=0

，求得

a=y+3 b=x-3

，故N（y+3，x-3），把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入曲線C：y=x²-2x+2，可得x-3=（y+3）²-2（y+3）+2，
化簡(jiǎn)可得 x-y²-4y-8=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)或某直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．