Question

20．設(shè)min$\left\{{x，y}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{y，x≥y}\\{x，x＜y}\end{array}}$，若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），g（x）滿足f（x）+g（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$，則min{f（x），g（x）}的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 討論當(dāng)f（x）≥g（x）時(shí)，當(dāng)f（x）＜g（x）時(shí)，求得min{f（x），g（x）}，結(jié)合條件運(yùn)用基本不等式，即可得到所求最大值．

解答 解：當(dāng)f（x）≥g（x）時(shí)，min{f（x），g（x）}=g（x），
f（x）+g（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$≥2g（x），
即g（x）≤$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
顯然x＞0時(shí)，$\frac{x}{1+{x}^{2}}$有最大值，
由$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$，
可得g（x）的最大值為$\frac{1}{2}$；
當(dāng)f（x）＜g（x）時(shí)，min{f（x），g（x）}=f（x），
f（x）+g（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$＞2f（x），
即f（x）＜$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
顯然x＞0時(shí)，$\frac{x}{1+{x}^{2}}$有最大值，
同上可得f（x）＜$\frac{1}{2}$．
綜上可得，min{f（x），g（x）}的最大值為$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．