Question

2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求同時(shí)滿足下列條件的所有a_n的和：①20≤n≤116；②n能夠被5整除．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，列出方程組，求出首項(xiàng)a₁和公差d，寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）得出滿足條件的n組成等差數(shù)列{b_n}，求出{b_n}的所有項(xiàng)的和，即可求出滿足條件的所有a_n的和．

解答 解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列{a_n}中，a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比數(shù)列，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=2{（a}_{1}+d）}\\{{a}_{1}•{（a}_{1}+3d）=16}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=2；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）∵a_n=2n，
且n同時(shí)滿足：①20≤n≤116；②n能夠被5整除，
∴滿足條件的n組成等差數(shù)列{b_n}，
且b₁=20，d=5，b_n=115，
∴項(xiàng)數(shù)為$\frac{115-20}{5}$+1=20；
∴{b_n}的所有項(xiàng)的和為
S₂₀=20×20+$\frac{1}{2}$×20×19×5=1350，
∴滿足條件的所有a_n的和為
2S₂₀=2×1350=2700．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．