Question

1．已知離心率為$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$的雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$，（a＞0）的左焦點(diǎn)與拋物線y²=mx的焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)m=-12．

Answer 1

分析 先由雙曲線的離心率求出a的值，由此得到雙曲線的左焦點(diǎn)，再求出拋物線y²=mx的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用它們焦點(diǎn)重合，從而求出實(shí)數(shù)m．

解答 解：∵雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$的離心率為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$⇒a²=5，
雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$的左焦點(diǎn)是（-3，0），
拋物線y²=mx的焦點(diǎn)（$\frac{m}{4}$，0）
∴$\frac{m}{4}$=-3⇒m=-12．
故答案為：-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合把握能力．屬于基礎(chǔ)題．