Question

16．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A為橢圓E的右頂點，B，C分別為橢圓E的上、下頂點．
（I）若N為AC的中點，△BAN的面積為$\sqrt{2}$，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．求橢圓E的方程；
（Ⅱ）F為橢圓E的右焦點，線段CF的延長線與線段AB交于點M，與橢圓E交于點P，求$\frac{|CM|}{|CP|}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得A（a，0），B（0，b），C（0，-b），由兩點的距離公式及點到直線的距離公式，運用三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式，可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設F（c，0），C（0，-b），A（a，0），B（0，b），求得直線CF，AB的方程，聯(lián)立求得M的坐標，再聯(lián)立橢圓方程，可得P的坐標，由$\frac{|CM|}{|CP|}$=$\frac{{x}_{M}}{{x}_{P}}$，化簡整理，轉(zhuǎn)化為e的式子，運用基本不等式可得最小值．

解答 解：（I）由題意可得A（a，0），B（0，b），C（0，-b），
|AN|=$\frac{1}{2}$|AC|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
直線AC的方程為bx-ay-ab=0，可得B到AC的距離為
d=$\frac{|2ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
由△BAN的面積為$\sqrt{2}$，可得
$\frac{1}{2}$•$\frac{|2ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$•（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）=$\sqrt{2}$，
即有ab=2$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）設F（c，0），C（0，-b），A（a，0），B（0，b），
可得直線CF：y=$\frac{c}$x-b，直線AB的方程為y=-$\frac{a}$x+b，
聯(lián)立直線CF和AB的方程，可得M（$\frac{2ac}{a+c}$，$\frac{b（a-c）}{a+c}$），
將直線CF的方程代入橢圓方程b²x²+a²y²=a²b²，
可得x=0或$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
即有P（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
由$\frac{|CM|}{|CP|}$=$\frac{\frac{2ac}{a+c}}{\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}+ac}$，
由e=$\frac{c}{a}$∈（0，1），可得
$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}+ac}$=$\frac{1+{e}^{2}}{1+e}$=（1+e）+$\frac{2}{1+e}$-2≥2$\sqrt{（1+e）•\frac{2}{1+e}}$-2=2$\sqrt{2}$-2．
當且僅當1+e=$\sqrt{2}$，即e=$\sqrt{2}$-1，可得最小值2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和直線方程，同時考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求得交點，考查基本不等式的運用：求最值，以及化簡運算能力，屬于中檔題．