Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂，M是雙曲線C在第一象限上一點(diǎn)，N與M關(guān)于原點(diǎn)對稱，MF₂交雙曲線C于另一點(diǎn)P，NF₂⊥PF₂，|NF₂|=|PF₂|，則雙曲線C的漸近線為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 設(shè)|NF₂|=t，可得|PF₂|=t，連接MF₁，NF₁，可得|MF₁|=t，由雙曲線的定義可得，|MF₁|-|MF₂|=2a，即有|MF₂|=t-2a，再由勾股定理，可得t，再由|PF₁|=t+2a，在直角三角形MPF₁中，運(yùn)用勾股定理，可得t，解方程可得a，b的關(guān)系，即可得到所求漸近線方程．

解答 解：設(shè)|NF₂|=t，可得|PF₂|=t，
連接MF₁，NF₁，可得|MF₁|=t，
由雙曲線的定義可得，|MF₁|-|MF₂|=2a，
即有|MF₂|=t-2a，
由NF₂⊥PF₂，可得t²+（t-2a）²=4c²=4a²+4b²，
解得t=a+$\sqrt{{a}^{2}+2^{2}}$，
連接PF₁，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₁|=t+2a，在直角三角形MPF₁中，可得
（t+2a）²=t²+（2t-2a）²，
解得t=3a，
由a+$\sqrt{{a}^{2}+2^{2}}$=3a，化為2b²=3a²，
即為b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
可得漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．