Question

已知圓O：x²+y²=4和點M（1，a）．
（1）若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求實數(shù)a的值，并求出切線方程；
（2）若a=

2

，求過點M的最短弦AC與最長弦BD所在的直線方程．并求此時的S_ABCD．

Answer 1

考點：圓的切線方程,直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）要求過點M的切線方程，關鍵是求出切點坐標，由M點也在圓上，故滿足圓的方程，則易求M點坐標，然后代入圓的切線方程，整理即可得到答案．
（2）當a=

2

時，M（1，

2

）在圓x²+y²=4內(nèi)，由于圓內(nèi)弦最長的即是圓的直徑即BD為直徑，而AC是過M且與BD垂直的弦，此時DB=4，圓心（0，0）到直線AC的距離d=

3

，從而可得，AC=2，即可求出此時的S_ABCD．

解答： 解：（1）由條件知點M在圓O上，
∴1+a²=4
∴a=±

3

當a=

3

時，點M為（1，

3

），k_OM=

3

，
此時切線方程為：y-

3

=-

3

3

（x-1）
即：x+

3

y-4=0；
當a=-

3

時，點M為（1，-

3

），k_OM=-

3

，
此時切線方程為：y+

3

=-

3

3

（x-1）
即：x-

3

y-4=0
∴所求的切線方程為：x+

3

y-4=0或即：x-

3

y-4=0
（2）當a=

2

時，M（1，

2

）在圓x²+y²=4內(nèi)，由于圓內(nèi)弦最長的即是圓的直徑即BD為直徑，而AC是過M且與BD垂直的弦
此時DB=4，圓心（0，0）到直線AC的距離d=

3

，
從而可得，AC=2，∴S=

1

2

×2×4=4．

點評：本題考查的是圓的切線方程，即直線與圓方程的應用．（求過一定點的圓的切線方程，首先必須判斷這點是否在圓上．若在圓上，則該點為切點，若點P（x₀，y₀）在圓（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，則 過點P的切線方程為（x-a）（x₀-a）+（y-b）（y₀-b）=r²（r＞0）；若在圓外，切線應有兩條．一般用“圓心到切線的距離等于半徑長”來解較為簡單．若求出的斜率只有一個，應找出過這一點與x軸垂直的另一條切線．