已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k為負數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）。
（I）求f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）寫出f（x）在[-3，3]上的表達式，并討論函數(shù)f（x）在[ -3，3]上的單調(diào)性；
（Ⅲ）求出f（x）在[-3，3]上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值。
解：（Ⅰ）f（-1）=kf（1）=-k
∵f（0.5）=kf（2.5）
；
（Ⅱ）∵對任意實數(shù)x，f（x）=kf（x+2）
∴f（x-2）=kf（x）
∴f（x）=
當-2≤x<0，0≤x+2<2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
當-3≤x<-2，-1≤x+2<0，f（x）=kf（x+2）=k2（x+2）（x+4）；
當2≤x≤3時，0≤x-2≤1，；
故
∴k<0
∴f（x）在[-3，-1]與[1，3]上為增函數(shù)，在[-1，1] 上為減函數(shù)；
（Ⅲ）由函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性可知f（x）在x=-3或x=1處取得最小值f（-3）=-k2或f（1）=-1，而在x=-1或x=3處取得最大值，f（-1）=-k或f（3）=-
故有①k<-1時，f（x）在x=-3處取得最小值f（-3）=-k2，在x=-1處取得最大值，f（-1）=-k；
②k=-1時，f（x）在x=-3與x=l處取得最小值f（-3）= f（1）=-1，在x=-1與x=3處取得最大值f（-1）=f（3）=1
③-1<k<0時，f（x）在x=1處取得最小值f（1）=-1，在x=3處取得最大值。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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