Question

已知展開式的前三項系數(shù)成等差數(shù)列．則（1）n=    ；（2）展開式的一次項是    ；（3）展開式中的有理項是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用二項展開式的前三項系數(shù)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的特性列出關(guān)于n的方程，求出n的值，然后寫出通項公式并進行化簡，令字母的指數(shù)符合所需要的條件，從而確定特定項．
解答：解：（1）∵展開式的前三項系數(shù)成等差數(shù)列，
∴+=2×，
∴1+×=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍去），n₂=8，
∴n=8．
（2）∵T_r+1=×=，
∴令4-r=1得r=4．
∴T₅=x=×x=x，
∴展開式的一次項是x．
（3）當令4-r∈Z時，T_r+1為有理項，因為0≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理項有3項，分別是T₁=x⁴，T₅=x，T₉=x^-2．
故答案為（1）8；（2）x；（3）x⁴，x，x^-2．
點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．