Question

16．設函數f（x）=$\frac{1}{{{{（|x-1|-a）}^2}}}$的定義域為D，其中a＜1．
（1）當a=-3時，寫出函數f（x）的單調區(qū)間（不要求證明）；
（2）若對于任意的x∈[0，2]∩D，均有f（x）≥kx²成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-3時，根據函數解析式寫出函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）x=0時，不等式f（x）≥kx²成立；x≠0時，f（x）≥kx²成立，等價于k≤$\frac{1}{[x（|x-1|-a）]^{2}}$．設h（x）=x（|x-1|-a）=$\left\{\begin{array}{l}{-x[x-（1-a）]，0＜x≤1}\\{x[x-（1+a）]，1＜x≤2}\end{array}\right.$，對a討論，確定函數的單調性，即可得出結論．

解答 解：（1）單調遞增區(qū)間（-∞，1]，單調遞減區(qū)間是[1，+∞）．
（2）x=0時，不等式f（x）≥kx²成立，
x≠0時，f（x）≥kx²成立，等價于k≤$\frac{1}{[x（|x-1|-a）]^{2}}$．
設h（x）=x（|x-1|-a）=$\left\{\begin{array}{l}{-x[x-（1-a）]，0＜x≤1}\\{x[x-（1+a）]，1＜x≤2}\end{array}\right.$．
①a≤-1時，h（x）在（0，2]上單調遞增，∴0＜h（x）≤h（2），即0＜h（x）≤2（1-a），
∴k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$，
②當-1＜a＜0時，h（x）在（0，$\frac{1-a}{2}$]上單調遞增，在[$\frac{1-a}{2}$，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增．
∵h（2）=2-2a＞$\frac{（1-a）^{2}}{4}$=h（$\frac{1-a}{2}$），
∴0＜h（x）≤h（2）
∴0＜h（x）≤2（1-a），
∴k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$；
③當0≤a＜1時，h（x）在（0，$\frac{1-a}{2}$]上單調遞增，在[$\frac{1-a}{2}$，1-a）上單調遞減，在（1-a，1）上單調遞減，在[1，1+a）上單調遞增，在（1+a，2]上單調遞增，
∴h（1）≤h（x）≤max{h（2），h（$\frac{1-a}{2}$}且h（x）≠0，
∵h（2）=2-2a＞$\frac{（1-a）^{2}}{4}$=h（$\frac{1-a}{2}$），
∴-a≤h（x）≤2-2a，且h（x）≠0．
當0≤a＜$\frac{2}{3}$時，∵|2-2a|＞|-a|，∴k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$；
當$\frac{2}{3}$≤a＜1時，∵|2-2a|≤|-a|，∴k≤$\frac{1}{{a}^{2}}$．
綜上所述，當a＜$\frac{2}{3}$時，k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$；當$\frac{2}{3}$≤a＜1時，k≤$\frac{1}{{a}^{2}}$．

點評 本題考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．