Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁、F₂，離心率e=，焦距為2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點F₁的直線與橢圓交于M，N點，且||=求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率e=，焦距為2，求出幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及=，即可求直線l的方程．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=，焦距為2，
∴，2c=2
∴c=1，a=
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）由（1）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
若l斜率不存在，方程為x=-1，代入橢圓方程可得M（-1，），N（-1，-）
此時，=4與已知矛盾，
l的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=
∴MN中點E為（，）
由題意，F(xiàn)₂（1，0），MN中點E，∴EF₂是△MNF₂的中線
∴=
∴=
∴=
∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1或（舍去）
∴k=±1
∴所求直線方程為y=x+1或y=-x-1．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．