Question

拋物線y=g（x）經過點O（0，0）、A（m，0）與點P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，設函數(shù)f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值．
（1）用m，x表示f（x）=0．
（2）比較a，b，m，n的大小（要求按從小到大排列）．
（3）若m+n≤2

2

，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y=（x）均相切，求y=f（x）

Answer 1

分析：（1）先設拋物線方程y²=kx（x-m），把點P代入拋物線方程求得k，進而可得拋物線方程可得．
（2）f（x）=（x-n）g（x）求得函數(shù)f（x）的表達式，求導，根據函數(shù)f（x）在x=a和x=b處取到極值，可知f′（a）=0，f′（b）=0，根據m＞n可知f′（m）＞0，f′（n）＜0，進而可判斷b＜n＜a＜m．
（3）設切點Q（x₀，y₀）進而可根據函數(shù)f（x）的導函數(shù)求得斜率，根據y₀=x₀³-（m+n）x₀²+mnx₀，可得切線的方程，又根據切線過原點，進而可得-x₀³-（m+n）x₀²-mnx₀=-3x₀³-2（m+n）x₀²+mnx₀，求得x₀，分別表示出兩切線的斜率m+n≤2

2

，確定k₁k₂的范圍，進而根據兩條切線垂直可知k₁k₂=-1，推斷出上式等號成立，有m+n=2

2

，且mn=1．進而求得函數(shù)f（x）的表達式．

解答：解：（1）由拋物線經過點O（0，0）A（m，0），設拋物線方程y=kx（x-m），k≠0，
又拋物線過點P（m+1，m+1），則m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x-m）=x²-mx．
（2）f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x³-（m+n）x²+mnx，
f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，函數(shù)f（x）在x=a和x=b處取到極值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m²-mn=m（m-n）＞0
f′（n）=3n²-2（m+n）+mn=n²-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m．
（3）設切點Q（x₀，y₀），則切線的斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2（m+n）x₀+mn
又y₀=x₀³-（m+n）x₀²+mnx₀，，所以切線的方程是
y=x₀³-（m+n）x₀²-mnx₀=[3x₀²-2（m+n）x₀+mn]（x-x₀）
又切線過原點，故-x₀³-（m+n）x₀²-mnx₀=-3x₀³-2（m+n）x₀²+mnx₀，
所以2x₀³-（m+n）x₀²=0，解得x₀=0，或x₀=

m+n

2

．
兩條切線的斜率為k₁=f′（0）=mn，k₂=f′（

m+n

2

），
由m+n≤2

2

，得（m+n）²≥8，∴-

1

4

（m+n）²≥-2，
∴k₂=f′（

m+n

2

）=

3(m+n)2

4

-2（m+n）•

m+n

2

+mn=-

1

4

（m+n）²+mn≥mn-2
所以k₁k₂=（mn）²-2mn=（mn-1）²-1≥-1，
又兩條切線垂直，故k₁k₂=-1，所以上式等號成立，有m+n=2

2

，且mn=1．
所以f（x）=x3-（m+n）x²+mnx=x³-2

2

x²+x．

點評：本題主要考查而來拋物線的應用和導函數(shù)的應用．考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．