如圖所示，已知、、是長軸長為的橢圓上的三點，點是長軸的一個端點，過橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存點，使得？若存在，有幾個（不必求出點的坐標），若不存在，請說明理由；
（3）過橢圓上異于其頂點的任一點，作圓的兩條線，切點分別為、，，若直線 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

（1）；（2）存在，且有兩個；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)題中條件得到值，然后根據(jù)題中的幾何條件得出點的坐標，代入橢圓方程求出值，從而確定橢圓的方程；（2）解法一是設點的坐標，利用兩點間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點的坐標所滿足的直線方程，注意到直線過橢圓內(nèi)一定點，從而確定滿足條件的點的個數(shù)；解法二是也是設點的坐標，利用兩點間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點的坐標所滿足的直線方程，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用的正負確定所滿足條件的點的個數(shù)；（3）設點的坐標，先根據(jù)題中條件結(jié)合圓的幾何性質(zhì)得到，，從而得出、、、四點共圓，并寫出圓（以的長為半徑的圓）的方程，通過將點、的坐標代入圓的方程，將兩個等式相減的辦法得到直線的方程，進而求出、（由點的坐標表示），并將點的坐標由、表示，再將點的坐標代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題；解法二是設、、三點的坐標，利用圓的幾何性質(zhì)得到，先利用點斜式寫出直線的方程，同時寫出直線的方程，再將點代入上述兩直線的方程，通過比較得出直線的方程，進而求出、（由點的坐標表示），并將點的坐標由、表示，再將點的坐標代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題.
試題解析：（1）依題意知：橢圓的長半軸長，則，
設橢圓的方程為，
由橢圓的對稱性知 又，，
，，為等腰直角三角形，
點的坐標為，點的坐標為，
將的坐標代入橢圓方程得，
所求的橢圓的方程為；
（2）解法一：設在橢圓上存在點，使得，設，則
，
即點

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P 為橢圓上一點，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為,離心率，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設是直線上的不同兩點，若,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知點為橢圓右焦點，圓與橢圓的一個公共點為，且直線與圓相切于點.

（1）求的值及橢圓的標準方程；
（2）設動點滿足，其中M、N是橢圓上的點，為原點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.
（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；
（2）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為(1，0)．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設M、N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點．

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