（2013•浙江模擬）已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x+m在區(qū)間[0，
π
3
]上的最大值為2．
（Ⅰ）求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面積為
3
3
4
，求邊長a．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2x+
π
6
)+m+1，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)
在區(qū)間[0，
π
3
]上的最大值，再由函數(shù)在區(qū)間[0，
π
3
]上的最大值為2，求得m的值．
（2）由f（A）=1，求得sin(2A+
π
6
)=
1
2
，解得A的值．因為sinB=3sinC，由正弦定理求得b=3c．因為△ABC
面積為
3
3
4
，求得bc=3．由此解得b和c的值，再由余弦定理求得a的值．
解答：解：（1）由于 f(x)=2
3
sinx•cosx+2cos2x+m=2sin(2x+
π
6
)+m+1，-----（2分）
因為x∈[0 ， 
π
3
]，所以2x+
π
6
∈[
π
6
 ， 
5π
6
]．-------（3分）
因為函數(shù)y=sint在區(qū)間[
π
6
 ， 
π
2
]上是增函數(shù)，在區(qū)間[
π
2
 ， 
5π
6
]上是減函數(shù)，
所以當(dāng)2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0 ， 
π
3
]上取到最大值為2．----（5分）
此時，f(x)max=f(
π
6
)=m+3=2，得m=-1．-------（6分）
（2）因為f（A）=1，所以2sin(2A+
π
6
)=1，
即sin(2A+
π
6
)=
1
2
，解得A=0（舍去）或A=
π
3
．----（8分）
因為sinB=3sinC，
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，所以b=3c．①-------（10分）
因為△ABC面積為
3
3
4
，所以S=
1
2
bcsinA=
1
2
bcsin
π
3
=
3
3
4
，即bc=3．-----②
由①和②解得b=3，c=1．-------（12分）
因為a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos
π
3
，所以a=
7
．---（14分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
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（2013•浙江模擬）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖示，則將y=f（x）的圖象向右平移
π
6
個單位后，得到的圖象解析式為（　�。�

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（2013•浙江模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知C=
π3
．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圓的面積；
（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

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2
5
2
5
．

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（2013•浙江模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|
AB
|=a，|
AD
|=b，則
AC
•
BD
=（　�。�

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（2013•浙江模擬）已知sin(
π
4
-x)=
3
4
，且x∈(-
π
2
，-
π
4
)，則cos2x的值為
-
3
7
8
-
3
7
8
．

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