Question

設(shè)y₁=log_a（3x+1），y₂=log_a（-3x），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）若y₁=y₂，求x的值；     
（Ⅱ）若y₁＞y₂，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由y₁=y₂，即log_a（3x+1）=log_a（-3x），可得3x+1=-3x，由此求得x的值，檢驗(yàn)可得結(jié)論．
 （2）分當(dāng)0＜a＜1時(shí)、和當(dāng)a＞1時(shí)兩種情況，分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，化為與之等價(jià)的不等式組，從而求得原不等式的解集．

解答：解：（1）∵y₁=y₂，即log_a（3x+1）=log_a（-3x），∴3x+1=-3x，
解得x=-

1

6

，
經(jīng)檢驗(yàn)3x+1＞0，-3x＞0，所以，x=-

1

6

是所求的值．  
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵y₁＞y₂，即log_a（3x+1）＞log_a（-3x），
∴

3x+1＞0 -2x＞0 3x+1＜-3x

解得-

1

3

＜x＜-

1

6

．
當(dāng)a＞1時(shí)，∵y₁＞y₂，即log_a（3x+1）＞log_a（-3x），
∴

3x+1＞0 -2x＞0 3x+1＞-3x

解得-

1

6

＜x＜0．
綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，-

1

3

＜x＜-

1

6

；當(dāng)a＞1時(shí)，-

1

6

＜x＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．