Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-2x+2-a²）（a＞0），g（x）=x²+6x+c（c∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-x+1，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程為y=-x+1，建立方程關(guān)系即可求a的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，求得方程的兩個(gè)解，f′（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）當(dāng)a=1，求得導(dǎo)函數(shù)解析式，將原條件轉(zhuǎn)化成在[-3，3]，f（x）_max＜g（x）_max，利用函數(shù)單調(diào)性求得f（x）和g（x）的最大值，即可求得c的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²-a²）=e^x（x-a）（x+a），
由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）出的切線為y=-x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=-{a}^{2}=-1}\\{f（0）=2-{a}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∵a＞0
解得：a=1，
（2）令f′（x）=0，e^x（x-a）（x+a）=0，
解得：x₁=a，x₂=-a，
由f′（x）＞0得：x＜-a或x＞a，由f′（x）＜0，-a＜x＜a，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-a，a）；
（3）對(duì)?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，使f（x₁）＜g（x₂）成立，
等價(jià)于f（x）在[-2，2]，上的最大值小于g（x）在[-2，2]上的最大值，
當(dāng)a=1時(shí)f（x）=e^x（x²-2x+1），由（Ⅱ）可得f（x）與f（x）在[-2，2]，情況下：

x	-2	（-2，1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	9e-2	增	4e-1	減	0	增	e2

由上表可知：f（x）在[-2，2上的最大值誒f（2）=e²，
∵g′（x）=2x+f6＞0，在[-2，2]上恒成立，
∴g（x）=x²+6x+c在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∴最大值為g（2）=c+16，
f（2）＜g（2），即e²＜c+16，得c＞e²-16，
故實(shí)數(shù)c的取值范圍（e²-16，∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于中檔題．