Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=e^x
（1）若函數(shù)φ（x）=-x+f（-x），當(dāng)x∈[-e，0）時，求φ（x）的值域．
（2）設(shè)直線l為函數(shù)f（x）的圖象上一點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處切線．證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由x的范圍得到導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)一步得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的值域；
（2）：由f′(x)=

1

x

，求得切線l的方程y=

1

x0

x+lnx0-1，設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)(x1，ex1)，由ex1=

1

x0

說明l也為函數(shù)y=g（x）的切線，然后證明在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．

解答： （1）解：當(dāng)x∈[-e，0）時，φ（x）=-x+f（-x），
φ′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

，
∵x∈[-e，0），φ′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

＜0，
∴φ（x）在[-e，0）上單調(diào)遞減，
∴φ（x）∈（-∞，e+1]；
（2）證明：∵f′(x)=

1

x

，
∴f′(x0)=

1

x0

，
∴切線l的方程y-lnx0=

1

x0

(x-x0)，
即y=

1

x0

x+lnx0-1  ①，
設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)(x1，ex1)，
∵g′（x）=e^x，
∴ex1=

1

x0

，則x₁=-lnx₀，
∴直線l也為y-

1

x0

=

1

x0

(x+lnx0)，
即y=

1

x0

x+

lnx0

x0

+

1

x0

  ②，
由①②得，lnx0-1=

lnx0

x0

+

1

x0

，
∴lnx0=

x0+1

x0-1

．
下面證明在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一．
φ′(x)=

1

x

+

2

(x-1)2

=

x2+1

x(x-1)2

．
∵x＞0且x≠1，
∴φ′（x）＞0．
∴函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（1，+∞），
可知，φ（x）=lnx-

x+1

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上遞增．
又φ(e)=lne-

e+1

e-1

=

-2

e-1

＜0，φ(e2)=lne2-

e2+1

e2-1

=

e2-3

e2-1

＞0．
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說明方程φ（x）=0必在區(qū)間（e，e²）上有唯一的根，這個根就是所求的唯一x₀．
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了存在性和唯一性的證明問題，是壓軸題．