（12分）如圖所示，橢圓C： 的離心率，左焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)為，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為．與軸不垂直的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)、，記直線、的斜率分別為、，且．

（1）求橢圓 的方程；
（2）求證直線 與軸相交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）當(dāng)弦 的中點(diǎn)落在內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值。

（1）．（2）直線 與軸相交于定點(diǎn)（0，2）；（3）。

解析試題分析：（1）由題意可知：橢圓C的離心率，

故橢圓C的方程為．…………………………………………………2分
（2）設(shè)直線的方程為，M、N坐標(biāo)分別為
由得
∴…………………………………………………4分
∵．
∴
將韋達(dá)定理代入，并整理得，解得．
∴直線 與軸相交于定點(diǎn)（0，2）………………………………………………7分
（3）由（2）中，其判別式，得．①
設(shè)弦AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，
弦 的中點(diǎn)落在內(nèi)（包括邊界）

將坐標(biāo)代入，整理得 
解得 ②由①②得所求范圍為……………………………………12分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，不等式組解法。
點(diǎn)評(píng)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，常常運(yùn)用韋達(dá)定理，本題屬于中檔題。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長為4，離心率為。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且
，求直線l的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)，S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且|SF|=. 

（Ⅰ）求點(diǎn)S的坐標(biāo)；
（Ⅱ）以S為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點(diǎn)；
①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；
②延長NM交軸于點(diǎn)E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸為，為雙曲線上一點(diǎn)（不同于），直線，分別與直線交于兩點(diǎn)
（1）求雙曲線的方程；
（2）是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分6分.
（文）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）, 過點(diǎn)作一斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(其中點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方) .

(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的面積；
(3)設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離的最大值為.
(1）求橢圓的方程。
(2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)。對(duì)于任意的是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、點(diǎn)在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的離心率； （2）若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切，
求橢圓的方程；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，經(jīng)過點(diǎn)，,且拋物線的焦點(diǎn)為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 垂直于的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)，當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，求直線的方程和圓的方程.

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