Question

17．已知函數(shù)f（x）=a+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$（a∈R）是奇函數(shù)
（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）若f（|x|）＞k+log₂$\frac{m}{2}$•log₂$\frac{4}{m}$對任意的m∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）得到f（|x|）＞k+（t-1）（2-t），根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性得到1≥k+（t-1）（2-t），求出k的范圍即可．

解答 解：（1）證明：任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}-1）{（2}^{{x}_{2}}-1）}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{1}}$-1＞0，${2}^{{x}_{2}}$-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）∵f（x）是定義域上的奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），故a=1，
∵f（|x|）＞k+（log₂m-1）（log₂4-log₂m）
=k+（log₂m-1）（2-log₂m），
令t=log₂m，m＞0，故t∈R，
∴f（|x|）＞k+（t-1）（2-t），
又∵f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，
∴f（x）＞1，（當x＞0時）
∴1≥k+（t-1）（2-t），
∴k≤${（t-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
∴k≤$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，考查函數(shù)恒成立問題以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．