Question

7．數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=$\frac{{{a_{n+1}}-1}}{2}（{n∈{N^*}}）$，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）等差數列{b_n}的各項均為正數，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n+1=2S_n+1，當n≥2時，將n換為n-1，可得a_n=2S_n-1+1，兩式相減，化簡結合等比數列的定義和通項公式，即可得到所求通項；
（2）設{b_n}的公差為d，運用等差數列和等比數列的中項的性質，解方程可得公差d，再由等差數列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）因為${S_n}=\frac{{{a_{n+1}}-1}}{2}$，即a_n+1=2S_n+1，…①
所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②
所以①②兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又因為a₂=2S₁+1=3，所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，
∴a_n=3^n-1；                  
（2）設{b_n}的公差為d，由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可設b₁=5-d，b₃=5+d，
又因為a₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10
∵等差數列{b_n}的各項為正，
∴d＞0，∴d=2，
∴${T_n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n^2}+2n$．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，注意運用數列的遞推式和等比數列的中項的性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．