Question

已知a，b為正數(shù)，記L（a，b）=

a-b lna-lnb ，a≠b a，a=b

為“正數(shù)a，b的對(duì)數(shù)平均數(shù)”．
（1）求函數(shù)f（x）=L（x，1），x∈（1，+∞）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a≥b＞0，比較a，b的“算術(shù)平均數(shù)”，“幾何平均數(shù)”和“對(duì)數(shù)平均數(shù)”的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件求得f（x）=

x-1

lnx

，求f′（x）=

lnx- x-1 x

(lnx)2

，所以要判斷f′（x）的符號(hào)，只需判斷l(xiāng)nx-

x-1

x

的符號(hào)．可令h（x）=lnx-

x-1

x

，h′（x）=

x-1

x2

＞0，所以便得到h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（1）=0，所以便得到f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，而增區(qū)間便是（1，+∞）；
（2）a=b時(shí)，容易得到

a+b

2

=

ab

=L(a，b)，所以判斷a＞b時(shí)的情況即可：根據(jù)基本不等式

a+b

2

＞

ab

，所以需判斷

a+b

2

和L（a，b），

ab

和L（a，b）的大小關(guān)系，通過(guò)作差法進(jìn)行比較.

a+b

2

-L(a，b)=

a+b

2

-

a-b

lna-lnb

=

a+b

2ln a b

[ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

]，

a+b

2ln a b

＞0，所以只要判斷ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

的符號(hào)即可．所以可令

a

b

=u，u＞1，G（u）=lnu-

2(u-1)

u+1

，G′（u）=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0，所以G（u）＞G（1）=0，所以便可得到

a+b

2

＞L(a，b)，而同樣的辦法去比較

ab

和L（a，b）的大小關(guān)系，最后便可得到這三個(gè)平均數(shù)的大小關(guān)系．

解答： 解：（1）根據(jù)已知條件，∵x∈（1，+∞），∴L（x，1）=

x-1

lnx

；
∴f（x）=

x-1

lnx

，f′（x）=

lnx- x-1 x

(lnx)2

；
設(shè)h（x）=lnx-

x-1

x

，h′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
∵x＞1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以h（x）＞h（1）=0，即f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，（1，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）a=b＞0時(shí)，

a+b

2

=

ab

=L(a，b)；
a＞b＞0時(shí)，

a+b

2

＞

ab

；

a+b

2

-L(a，b)=

a+b

2

-

a-b

lna-lnb

=

(a+b)ln a b -2(a-b)

2ln a b

=

a+b

2ln a b

[ln

a

b

-

2(a-b)

a+b

]=

a+b

2ln a b

[ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

]，設(shè)

a

b

=u，u＞1，則：
G（u）=lnu-

2(u-1)

u+1

，G′（u）=

1

u

-

4

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0；
∴函數(shù)G（u）在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴G（u）＞G（1）=0，即ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

＞0；
又

a

b

＞1，

a+b

ln a b

＞0，∴

a+b

2

＞L(a，b)；

ab

-L(a，b)=

ab

-

a-b

lna-lnb

=

ab

ln a b

(ln

a

b

-

a-b

ab

)=

ab

ln a b

(ln

a

b

-

a b -1

a b

)，設(shè)

a b

=u，

a

b

=u2，（u＞1）則：
H（u）=lnu²-

u2-1

u

=2lnu-u+

1

u

，H′（u）=

2

u

-1-

1

u2

=

-(u-1)2

u2

＜0；
∴函數(shù)H（u）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∵H（u）＜H（1）=0，即ln

a

b

-

a b -1

a b

＜0；
又

ab

ln a b

＞0，∴

ab

＜L(a，b)；
∴綜上得a，b的“算術(shù)平均數(shù)”，“幾何平均數(shù)”和“對(duì)數(shù)平均數(shù)”的大小關(guān)系為：

a+b

2

≥L(a，b)≥

ab

，當(dāng)a=b時(shí)取“=”．

點(diǎn)評(píng)：考查通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及對(duì)于g（x）=f′（x）的情況，根據(jù)函數(shù)g（x）的單調(diào)性來(lái)判斷導(dǎo)數(shù)f′（x）符號(hào)的方法，以及通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)判斷一個(gè)式子的符號(hào)的方法．