【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx,a≠0.
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)﹣g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1 , C2于點M、N,證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.
【答案】解:(Ⅰ)b=2時,h(x)=lnx﹣ ax2﹣2x,
則h′(x)= ﹣ax﹣2=﹣ .
因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以h'(x)<0有解.
又因為x>0時,則ax2+2x﹣1>0有x>0的解.
①當a>0時,y=ax2+2x﹣1為開口向上的拋物線,ax2+2x﹣1>0總有x>0的解;
②當a<0時,y=ax2+2x﹣1為開口向下的拋物線,而ax2+2x﹣1>0總有x>0的解;
則△=4+4a≥0,且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根.此時,﹣1<a<0.
綜上所述,a的取值范圍為(﹣1,0)∪(0,+∞).
(Ⅱ)設(shè)點P、Q的坐標分別是(x1 , y1),(x2 , y2),0<x1<x2 .
則點M、N的橫坐標為x= ,
C1在點M處的切線斜率為k1= ,x= ,k1= ,
C2在點N處的切線斜率為k2=ax+b,x= ,k2= +b.
假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則k1=k2 .
即 = +b,
則
= (x22﹣x12)+b(x2﹣x1)
= (x22+bx2)﹣( +bx1)
=y2﹣y1
=lnx2﹣lnx1 .
所以 = .設(shè)t= ,則lnt= ,t>1①
令r(t)=lnt﹣ ,t>1.則r′t= ﹣ = .
因為t>1時,r'(t)>0,所以r(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.故r(t)>r(1)=0.
則lnt> .這與①矛盾,假設(shè)不成立.
故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行
【解析】(Ⅰ)先求函數(shù)h(x)的解析式,因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以h'(x)<0有解,求出a的取值范圍;(Ⅱ)先利用導(dǎo)數(shù)分別表示出函數(shù)在C1在點M處的切線與C2在點N處的切線,結(jié)合過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1 , C2于點M、N,建立關(guān)系式,通過反證法進行證明即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集).
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【題目】過雙曲線的右焦點作一條直線,直線與雙曲線相交于兩點,且,若有且僅有三條直線,則雙曲線離心率的取值范圍為__________.
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【題目】已知函數(shù),a為常數(shù)
(1)判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性
(2)若f(x)在上的最小值為,求a的值
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【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的直徑均位于區(qū)間內(nèi)(單位: ).若生產(chǎn)一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間內(nèi)該廠可獲利分別為10,30,20,10(單位:元),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取200件測量它們的直徑,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值,并估計該廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤;
(2)現(xiàn)用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品中隨機抽取一個容量為5的樣本,從樣本中隨機抽取兩件產(chǎn)品進行檢測,求兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間內(nèi)的槪率.
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【題目】某單位需要從甲、乙兩人中選拔一人參加新崗位培訓(xùn),特別組織了5個專項的考試,成績統(tǒng)計如下:
第一項 | 第二項 | 第三項 | 第四項 | 第五項 | |
甲的成績 | 81 | 82 | 79 | 96 | 87 |
乙的成績 | 94 | 76 | 80 | 90 | 85 |
(1)根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計知識,回答問題:若從甲、乙2人中選出1人參加新崗位培訓(xùn),你認為選誰合適,請說明理由;
(2)根據(jù)有關(guān)概率知識,解答以下問題:
從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個,設(shè)抽到甲的成績?yōu)?/span>,抽到乙的成績?yōu)?/span>,用表示滿足條件的事件,求事件的概率.
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【題目】2016年某學(xué)科能力測試共有12萬考生參加,成績采用15級分,測試成績分布圖如圖,試估計成績高于11級分的人數(shù)為 ( )
A. 8 000 B. 10 000 C. 20 000 D. 60 000
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【題目】如圖是甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖,據(jù)圖可知以下說法正確的是 _____.(填序號)
①甲運動員的成績好于乙運動員;②乙運動員的成績好于甲運動員;
③甲、乙兩名運動員的成績沒有明顯的差異;④甲運動員的最低得分為0分.
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【題目】三棱錐P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點,且CD平面PAB
(1)求證:AB平面PCB
(2)求異面直線AP與BC所成角的大小
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值
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