Question

5．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AC與BD交于點M，AB=2CD=4．若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-1，則cos∠BMC=$\frac{1}{17}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合△MCD∽△MAB，可設(shè)MD=MC=m，則AC=BD=3m，由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-1，求得cos$∠CMD=-\frac{1}{9{m}^{2}}$，在△CMD中，利用余弦定理求出m²，進一步求得cos∠CMD，則答案可求．

解答 解：如圖，由題意可知，△MCD∽△MAB
∵AB=2CD=4，
∴AM=2MC，BM=2MD，
設(shè)MD=MC=m，則AC=BD=3m，
由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-1，得9m²cos∠CMD=-1，
∴cos$∠CMD=-\frac{1}{9{m}^{2}}$，
在△CMD中，有2²=m²+m²-2m²cos∠CMD，
即$4=2{m}^{2}-2{m}^{2}•（-\frac{1}{9{m}^{2}}）$，
解得：${m}^{2}=\frac{17}{9}$．
∴cos∠CMD=$-\frac{1}{17}$．
則cos∠BMC=cos（π-∠BMD）=-cos∠CMD=$\frac{1}{17}$．
故答案為：$\frac{1}{17}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求斜率的夾角，是中檔題．