Question

17．（x³+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式第6項系數(shù)最大，則其展開式的常數(shù)項為210？

Answer 1

分析 ①僅第6項系數(shù)最大，${∁}_{n}^{5}$＞${∁}_{n}^{6}$，${∁}_{n}^{5}＞{∁}_{n}^{4}$，解得n，再利用通項公式即可得出．②若第6與第7項系數(shù)相等最大，③若第5與6項系數(shù)最大，同理可得．

解答 解：①僅第6項系數(shù)最大，${∁}_{n}^{5}$＞${∁}_{n}^{6}$，${∁}_{n}^{5}＞{∁}_{n}^{4}$，解得n=10，
∴T_r+1=${∁}_{10}^{r}（{x}^{3}）^{10-r}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{10}^{r}$x^30-5r，
令30-5r=0，解得r=6．
∴其展開式的常數(shù)項為T₇=${∁}_{10}^{6}$=210．
②若第6與第7項系數(shù)相等最大，可得n=12，
T_r+1=${∁}_{12}^{r}（{x}^{3}）^{12-r}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{12}^{r}$x^36-5r，令36-5r=0，解得r=$\frac{36}{5}$不是整數(shù)，舍去．
③若第5與6項系數(shù)最大，可得n=9，T_r+1=${∁}_{9}^{r}（{x}^{3}）^{9-r}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{9}^{r}{x}^{27-5r}$，令27-5r=0，解得r=$\frac{27}{5}$不是整數(shù)，舍去．
綜上可得：常數(shù)項為：210．
故答案為：210．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．