Question

15．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上是否存在關(guān)于直線l：y=2x-1對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？

Answer 1

分析 假設(shè)存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)出直線AB方程y=-$\frac{1}{2}$x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，求得AB中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線2x-y-1=0，求出m值，進(jìn)一步求得AB中點(diǎn)坐標(biāo)，即可說明不存在滿足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．

解答 解：假設(shè)存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，
∵直線l：y=2x-1，
∴${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，
∴直線AB方程為y=-$\frac{1}{2}$x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，得x²-mx+m²-12=0，
∴AB中點(diǎn)為（$\frac{m}{2}，\frac{3m}{4}$），
代入直線2x-y-1=0上，得m=4．                                      
∴AB中點(diǎn)為（2，3），不在橢圓內(nèi)部，
∴不存在滿足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，考查對(duì)稱性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．