Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁=1，公差d為整數(shù)，且滿足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

anan+1

，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S₂為S₁，S_m （m∈N^*）的等比中項(xiàng)，求正整數(shù)m的值．
（3）對(duì)任意正整數(shù)k，將等差數(shù)列{a_n}中落入?yún)^(qū)間（2^k，2^2k）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為c_k，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)
和T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可得到關(guān)于首項(xiàng)a₁與公差d的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=

1

an•an+1

知，利用裂項(xiàng)法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），繼而可得S_n=

n

2n+1

，于是由S₂為S₁，S_m （m∈N^*）的等比中項(xiàng)，即可求得正整數(shù)m的值；
（3）依題意知，c_k=2^2k-1-2^k-1，利用分組求和即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)．

解答：解：（1）由題意，得

a1+3＜a1+2d a1+d+5＞a1+3d

解得

3

2

＜d＜

5

2

．
又d∈Z，
∴d=2．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

，
∵S₁=

1

3

，S₂=

2

5

，S_m=

m

2m+1

，S₂為S₁，S_m（m∈N^*）的等比中項(xiàng)，
∴

S

2 2

=S_mS₁，
即(

2

5

)2=

1

3

•

m

2m+1

，
解得m=12．
（3）對(duì)任意正整數(shù)k，2^k＜2n-1＜2^2k，則2^k-1+

1

2

＜n＜2^2k-1+

1

2

，
而k∈N^*，由題意可知c_k=2^2k-1-2^k-1，
于是T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2¹+2³+…+2^2n-1）-（2⁰+2¹+…+2^n-1）
=

2-22n+1

1-22

-

1-2n

1-2

=

22n+1-2

3

-（2ⁿ-1）
=

22n+1-3•2n+1

3

，
即T_n=

22n+1-3•2n+1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查裂項(xiàng)法與分組求和的綜合應(yīng)用，屬于難題．