已知a是給定的實常數(shù),設函數(shù)f(x)=(x-a)2(x+b)e2,b∈R,x=a是f(x)的一個極大值點,求b的取值范圍.

解:f′(x)=ex(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a],
令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a,
則△=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0,
于是,假設x1,x2是g(x)=0的兩個實根,且x1<x2
(1)當x1=a或x2=a時,則x=a不是f(x)的極值點,此時不合題意.
(2)當x1≠a且x2≠a時,由于x=a是f(x)的極大值點,故x1<a<x2
即g(a)<0
即a2+(3-a+b)a+2b-ab-a<0
所以b<-a
所以b的取值范圍是:(-∞,-a)
分析:先求出函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)=ex(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a],令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a,討論g(x)=0的兩個實根x1,x2是否為a,從而確定x=a是否是f(x)的一個極大值點,建立不等關系即可求出b的范圍.
點評:本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用等基礎知識,同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識.
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22、已知a是給定的實常數(shù),設函數(shù)f(x)=(x-a)2(x+b)e2,b∈R,x=a是f(x)的一個極大值點,求b的取值范圍.

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已知a是給定的實常數(shù).設函數(shù)f(x)=(x-a)2(x+b)ex,b∈R,x=a是f(x)的一個極大值點.
(1)求b的取值范圍.
(2)設x1,x2,x3是f(x)的3個極值點,問是否存在實數(shù)b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某種排xxi1,xi2xi3,xi4(其中{i1,i2,i3,i4}={1,2,3,4})依次成等差數(shù)列?若存在,求所有的b及相應的x4;若不存在,說明理由.

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已知a是給定的實常數(shù).設函數(shù)f(x)=(x-a)2(x+b)ex,b∈R,x=a是f(x)的一個極大值點,
(Ⅰ)求b的取值范圍;
(Ⅱ)設x1,x2,x3是f(x)的3個極值點,問是否存在實數(shù)b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某種排列(其中{i1,i2,i3,i4}={1,2,3,4})依次成等差數(shù)列?若存在,求所有的b及相應的x4;若不存在,說明理由.

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