Question

4．如圖，直四棱拄ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，2AB=CD，側(cè)面AA₁D₁D和側(cè)面CC₁D₁D是正方形，M是側(cè)面CC₁D₁D的中心．
（Ⅰ）證明：AM∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求平面MAB₁與平面A₁B₁C₁D₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁為x軸，D₁D為y軸，D₁C₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AM∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）求出平面MAB₁的法向量和平面A₁B₁C₁D₁的法向量，利用向量法能求出平面MAB₁與平面A₁B₁C₁D₁所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁為x軸，D₁D為y軸，D₁C₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，則A（2，2，0），
M（0，1，1），B₁（2，0，1），
B（2，2，1），C（0，2，2），
$\overrightarrow{AM}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，1），
設(shè)平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}B}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，2），
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}$=-2+0+2=0，
∵AM?平面BB₁C₁C，
∴AM∥平面BB₁C₁C．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{AM}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-2，1），
設(shè)平面MAB₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-2a-b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-2b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{2}$，1，2），
平面A₁B₁C₁D₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
設(shè)平面MAB₁與平面A₁B₁C₁D₁所成銳二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{21}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∴平面MAB₁與平面A₁B₁C₁D₁所成銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．