Question

16．如圖，在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=90°，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，將△PAB沿AB折起，使平面PAB⊥平面ABCD．
（1）證明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若點E在DC的延長線上且滿足$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{DC}$（λ＞0），當λ為何值時，二面角P-BE-A的大小為60°．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，BD⊥PA，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面PBD⊥平面PAC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當λ為1+$\sqrt{2}$時，二面角P-BE-A的大小為60°．

解答 證明：（1）∵在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=90°，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
將△PAB沿AB折起，使平面PAB⊥平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
D（0，2，0），C（2，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），設E（a，b，0），
∵$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{DC}$（λ＞0），
∴（a，b-2，0）=λ（2，0，0），解得a=2λ，b=2，
∴E（2λ，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PE}$=（2λ，2，-2），
設平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=2λx+2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1-λ，1），
平面BEA的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角P-BE-A的大小為60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+（1-λ）^{2}+1}}$，
解得$λ=1+\sqrt{2}$，或$λ=1-\sqrt{2}$（舍）．
∴λ為1+$\sqrt{2}$時，二面角P-BE-A的大小為60°．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足二面角為60°的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真題，注意向量法的合理運用．