Question

關(guān)于曲線(xiàn)x³-y³+9x²y+9xy²=0，有下列命題：
①曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
②曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
③曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
④曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)；
其中正確命題的序號(hào)是

①

．

Answer 1

分析：設(shè)（a，b）點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則（a，b）點(diǎn)滿(mǎn)足方程x³-y³+9x²y+9xy²=0，然后判定（a，-b），（-a，b），（-a，-b），（b，a）是否在曲線(xiàn)x³-y³+9x²y+9xy²=0上，從而得到結(jié)論．

解答：解：若（a，b）點(diǎn)在曲線(xiàn)C：x³-y³+9x²y+9xy²=0上，則a³-b³+9a²b+9ab²=0，
令x=a，y=-b，則a³+b³-9a²b+9ab²=0，故點(diǎn)（a，-b）不在曲線(xiàn)C上，即不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
令x=-a，y=b，則-a³-b³+9a²b-9ab²=0，故點(diǎn)（-a，b）不在曲線(xiàn)C上，即不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
令x=-a，y=-b，則-a³+b³-9a²b-9ab²=0，即a³-b³+9a²b+9ab²=0，故點(diǎn)（-a，-b）在曲線(xiàn)C上，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
令x=b，y=a，則b³-a³+9a²b+9ab²=0，故點(diǎn)（b，a）不在曲線(xiàn)C上，即不關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)；
其中正確命題的序號(hào)是 ①．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線(xiàn)上時(shí)，（-a，-b）點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線(xiàn)上時(shí)，（-a，b）點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線(xiàn)上時(shí)，（a，-b）點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線(xiàn)上時(shí)，（b，a）點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x-y=0對(duì)稱(chēng)；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線(xiàn)上時(shí)，（-b，-a）點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，則曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x-y=0對(duì)稱(chēng)，屬于基礎(chǔ)題．