Question

設(shè)A、B是函數(shù)y=log₂x圖象上兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為a和a+4，直線l：x=a+2與函數(shù)y=log₂x圖象交于點(diǎn)C，與直線AB交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．
（3）當(dāng)1≤a≤2時(shí)，求△ABC的面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得：D為線段AB的中點(diǎn)，結(jié)合A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得答案．
（2）過A，B，C作與x的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，則S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}-S_{梯形AA′B′B}=log₂

(a+2)2

a(a+4)

，由△ABC的面積等于1，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得答案；
（3）S_△ABC=log₂

(a+2)2

a(a+4)

=log2[1+

4

(a+2)2-4

]，當(dāng)1≤a≤2時(shí)，利用分析法可得△ABC的面積的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知可得：D為線段AB的中點(diǎn)，
∵A（a，log₂a ），B（a+4，log₂（a+4）），
由中點(diǎn)公式得D（a+2，log₂

a(a+4)

 ）．…（4分）
（2）過A，B，C作與x的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，
則S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}-S_{梯形AA′B′B}
=

1

2

[log₂a+log₂（a+2）]×2+

1

2

[log₂（a+2）+log₂（a+4）]×2-

1

2

[log₂a+log₂（a+4）]×4
=2log₂（a+2）-log₂a-log₂（a+4）=log₂

(a+2)2

a(a+4)

，
由S_△ABC=log₂

(a+2)2

a(a+4)

=1，得a=2

2

-2．…（9分）
（3）S_△ABC=log₂

(a+2)2

a(a+4)

₌log2

a2+4a+4

a2+4a

=log2[1+

4

(a+2)2-4

]，
由于1≤a≤2，得（a+2）²-4∈[5，12]，
故

4

(a+2)2-4

∈[

1

3

，

4

5

]，
故1+

4

(a+2)2-4

∈[

4

3

，

9

5

]，
故S_△ABC∈[log₂

4

3

，log₂

9

5

]…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是中點(diǎn)公式，割補(bǔ)法求面積，對數(shù)的運(yùn)算性，函數(shù)的值域，是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，難度中檔．