Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₅=13，a_n+1-a_n=3（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，比較T_n與4的大小．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n．利用數(shù)列遞推關(guān)系可得b_n．
（II）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1-a_n=3（n∈N^*），∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=3，
又a₅=a₁+4d=13，得a₁=1，∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
又因為數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．，
當(dāng)n=1時，b₁=S₁=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
綜上：a_n=3n-2，b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（Ⅱ）a_nb_n=（3n-2）$•\frac{1}{{2}^{n}}$．
T_n=1×$\frac{1}{2}+4×\frac{1}{{2}^{2}}$+7×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（3n-2）×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+4×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（3n-5）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+（3n-2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+3（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-（3n-2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+3×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+3$（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-（3n-2）×$\frac{1}{{2}^{n}}$=4-$\frac{3n+4}{{2}^{n}}$＜4．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．