Question

12．在直角△ABC中，AD為斜邊BC邊上的高，則下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． $\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0
• B． |$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|≥2|$\overrightarrow{AD}$|
• C． $\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|²
• D． $\overrightarrow{AC}$•$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD|}}$=|$\overrightarrow{AB}$|sinB

Answer 1

分析 由斜邊上的高，結(jié)合垂直的條件：數(shù)量積為0，即可判斷A；應(yīng)用中點的向量表示，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，可判斷B；應(yīng)用數(shù)量積的定義，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可判斷C；應(yīng)用數(shù)量積的定義和直角三角形中三角函數(shù)的關(guān)系，即可判斷D．

解答 解：直角△ABC中，AD為斜邊BC邊上的高，
可得$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{CB}$，
即有$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=0
即$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，故A正確；
取BC的中點M，有$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AM}$，
有|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=2|$\overrightarrow{AM}$|≥2|$\overrightarrow{AD}$|，故B正確；
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠CAD=|$\overrightarrow{AD}$|²＜|$\overrightarrow{AC}$|²，故C不正確；
$\overrightarrow{AC}$•$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD|}}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠CAD•$\frac{1}{|\overrightarrow{AD}|}$
=|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠CAD=|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{AB}$|sinB，故D正確．
故選：C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和應(yīng)用，考查中點向量表示及數(shù)量積的性質(zhì)，主要是垂直的條件，考查推理和判斷能力，屬于中檔題．