Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+sinx，x≥0 -x2+cos(x+α)，x＜0

是奇函數(shù)，則sinα=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由已知中函數(shù)f（x）=

x2+sinx，x≥0 -x2+cos(x+α)，x＜0

是奇函數(shù)，可得cos（x+α）=sinx恒成立，進而α=-

π

2

+2kπ，k∈Z，進而可得sinα的值．

解答： 解：當x＜0時，-x＞0，
則f（x）=-x²+cos（x+α），f（-x）=（-x）²+sin（-x）=x²-sinx，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（-x），
∴cos（x+α）=sinx恒成立，
∴α=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴sinα=-1，
故答案為：-1

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，是三角函數(shù)與函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．