Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

6

，a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

×

1

3n

（n≥2）
（1）求證：數(shù)列{a_n+

1

3n

}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（1）根據(jù)題意，利用條件構(gòu)造數(shù)列{a_n+

1

3n

}成等比，或者直接利用等比數(shù)列定義證明新數(shù)列后項(xiàng)與前項(xiàng)為比為定值，得到數(shù)列{a_n+

1

3n

}是等比數(shù)列；（2）先求出數(shù)列{a_n+

1

3n

}的通項(xiàng)公式，直接可得到{a_n}的通項(xiàng)公式；（3）利用數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，對數(shù)列{a_n}進(jìn)行求和，再證明不等關(guān)系S_n＜

1

2

成立，得到本題結(jié)論．

解答： （1）證明：∵a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

×

1

3n

（n≥2），
∴an+

1

3n

=

1

2

an-1+

3

2

×

1

3n

=

1

2

(an-1+

1

3n-1

)．
∵a₁=

1

6

，
∴a 1+

1

3

=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n+

1

3n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知：數(shù)列{a_n+

1

3n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n+

1

3n

=

1

2n

，
∴a_n=

1

2n

-

1

3n

，n∈N^*．
（3）解：∵S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，
∴Sn=(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-(

1

3

+

1

32

+

1

33

…

1

3n

)
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

+

1

2

×

1

3n

-

1

2n

=

1

2

+

2n-2×3n

2n+1×3n

＜

1

2

．
∴S_n＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了定義法證明數(shù)列成等比、構(gòu)造法求通項(xiàng)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，本題難度適中，屬于中檔題．