Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4km的正方形地域，地域內(nèi)有一條河流從A流到E，且河流是以A為頂點(diǎn)開口向上的一段拋物線弧，其中E為BC的中點(diǎn)．某公司準(zhǔn)備投資建一個(gè)大型矩形游樂園PMDN，問如何修建才能使得游樂園的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：首先建立坐標(biāo)系，表示出拋物線AE的方程，并設(shè)P的坐標(biāo)，用其坐標(biāo)表示出游樂園的面積S的函數(shù)，通過求導(dǎo)法找到最大值．

解答：解：以A為原點(diǎn)，

AB

為x軸的正向建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線弧AE
的方程為y=ax²（0≤x≤4）
∵E（4，2），2=16a?a=

1

8

，故y=

1

8

x2．
設(shè)P(x，

1

8

x2)(0＜x≤4)，矩形PMDN的面積為S，
則S=x(4-

1

8

x2)=-

1

8

x3+4x(0＜x≤4)．
∴S′=-

3

8

x2+4．
令S'=0，得x=

4 6

3

或x=-

4 6

3

（舍）．
∵當(dāng)x∈(0，

4 6

3

)
時(shí)，S'＞0；當(dāng)x∈(

4 6

3

，4)
時(shí)，S'＜0，
∴x=

4 6

3

為S的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
故當(dāng)x=

4 6

3

時(shí)，S有最大值且最大值為S(

4 6

3

)=

32 6

9

．
答：當(dāng)游樂園PMDN的兩鄰邊MD=

8

3

km，DN=

4 6

3

km時(shí)，游樂園PMDN的面積最大，且最大面積等于

32 6

9

km2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，通過實(shí)際問題，抽象出函數(shù)模型，并通過求導(dǎo)計(jì)算最大值，考查對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，屬于中檔題．