Question

設直線l：y=3x-2與橢圓=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，且弦AB的中點M在直線x+y=0上，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設出A、B點及其中點的坐標，與中點坐標公式和直線的斜率計算公式聯(lián)系，由點差法，可得=3；結合橢圓的離心率的計算方法e==；代入a、b的關系可得答案．
解答：解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有K_AB==3；
設AB的中點為M，其坐標為（m，n），則（x₁+x₂）=2m，（y₁+y₂）=2n；
又由弦AB的中點M在直線x+y=0上，即m+n=0，
A、B兩點在橢圓上，
則=1，①
=1，②；
①-②可得，（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-（x₁+x₂）（x₁-x₂）；
化簡可得：=3；
則橢圓的離心率為e==；
故選A．
點評：本題考查直線與橢圓的綜合運用，注意點差法的運用，即設而不求的方法；一般用于已知斜率與中點坐標兩者之一或兩者都已知或未知，進而求解求解其它參數(shù)（離心率）的情況．