Question

設(shè)直線l：y=3x-2與橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，且弦AB的中點M在直線x+y=0上，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  6

  3

• B、

  2

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)出A、B點及其中點的坐標(biāo)，與中點坐標(biāo)公式和直線的斜率計算公式聯(lián)系，由點差法，可得

a2

b2

=3；結(jié)合橢圓的離心率的計算方法e=

1- b2 a2

=

6

3

；代入a、b的關(guān)系可得答案．

解答：解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有K_AB=

y1-y2

x1-x2

=3；
設(shè)AB的中點為M，其坐標(biāo)為（m，n），則（x₁+x₂）=2m，（y₁+y₂）=2n；
又由弦AB的中點M在直線x+y=0上，即m+n=0，
A、B兩點在橢圓上，
則

y12

a2

+

x12

b2

=1，①

y22

a2

+

x22

b2

=1，②；
①-②可得，

1

a2

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-

1

b2

（x₁+x₂）（x₁-x₂）；
化簡可得：

a2

b2

=3；
則橢圓的離心率為e=

1- b2 a2

=

6

3

；
故選A．

點評：本題考查直線與橢圓的綜合運用，注意點差法的運用，即設(shè)而不求的方法；一般用于已知斜率與中點坐標(biāo)兩者之一或兩者都已知或未知，進(jìn)而求解求解其它參數(shù)（離心率）的情況．