已知數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,且

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)的和;

(3)證明對(duì)一切,有

 

(1);(2);(3)證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析:本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式、裂項(xiàng)相消法、數(shù)學(xué)歸納法、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問,用n-1代替中的n,得到一個(gè)等式,2個(gè)等式相減,得到,分n為奇數(shù)偶數(shù)進(jìn)行討論,分別求出的通項(xiàng)公式,由于得到的式子相同,所以的通項(xiàng)公式就是;第二問,要求數(shù)列的前n項(xiàng)和,關(guān)鍵是需要求出的通項(xiàng)公式,可以利用已知的遞推公式進(jìn)行推導(dǎo),也可以利用數(shù)學(xué)歸納法猜想證明,得到的通項(xiàng)公式后,代入到中,得到的通項(xiàng)公式,最后用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和;第三問,先用放縮法對(duì)原式進(jìn)行變形,再用裂項(xiàng)相消法求和,最后和作比較.

試題解析:(1)由已知,,

由題意,即,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.

所以.4分

(2)解法一:由已知,對(duì),

兩邊同除以,得,即

于是,==,

,所以=,

,,又時(shí)也成立,故.

所以,8分

解法二:也可以歸納、猜想得出,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(3)當(dāng),有,

所以時(shí),有

=.

當(dāng)時(shí),.故對(duì)一切,有.14分

考點(diǎn):1.由;2.錯(cuò)位相減法;3.數(shù)學(xué)歸納法;4.裂項(xiàng)相消法.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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一個(gè)幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為( )

A. B. C. D.

 

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是通常的加法和乘法運(yùn)算.已知,并且有一個(gè)非零常數(shù),使得,都有

,則的值是( )

A. B. C. D.

 

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已知數(shù)列是等差數(shù)列,,,則首項(xiàng) .

 

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A. B. C. D.

 

 

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已知,

⑴ 求的最小正周期;

⑵設(shè),,,求的值.

 

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(1)試問第的點(diǎn)數(shù)為___________個(gè);

(2)如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn),那么它一共有_____層.

 

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