如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，焦點為F2；以F1，F(xiàn)2為焦點，離心率e=
1
2
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的交點為P，延長PF2交拋物線于點Q，M是拋物線C1上一動點，且M在P與Q之間運動．
（1）當(dāng)m=1時，求橢圓C2的方程；
（2）當(dāng)△PF1F2的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求△MPQ面積的最大值．
（1）當(dāng)m=1時，y2=4x，則F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）
設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），則c=1，又e=
c
a
=
1
2
，所以a=2，b2=3
所以橢圓C2方程為
x2
4
+
y2
3
=1（4分）
（2）因為c=m，e=
c
a
=
1
2
，則a=2m，b2=3m2，
設(shè)橢圓方程為
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
由
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
y2=4mx
，得3x2+16mx-12m2=0（6分）
即（x+6m）（3x-2m）=0，得xP=
2m
3
代入拋物線方程得yP=
2
6
3
m，
即P（
2m
3
，
2
6
m
3
）
|PF2|=xP+m=
5m
3
，|PF1|=2a-|PF2|=4m-
5m
3
=
7m
3
，|F1F2|=2m=
6m
3
，
因為△PF1F2的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，所以m=3（8分）
此時拋物線方程為y2=12x，P（2，2
6
），直線PQ方程為：y=-2
6
（x-3）．
聯(lián)立
y=-2
6
(x-3)
y2=12x
，得2x2-13x+18=0，即（x-2）（2x-9）=0，
所以xQ=
9
2
，代入拋物線方程得yQ=-3
6
，即Q（
9
2
，-3
6
）
∴|PQ|=
(2-
9
2
)2+(2
6
+3
6
)2
=
25
2
．
設(shè)M（
t2
12
，t）到直線PQ的距離為d，t∈（-3
6
，2
6
）
則d=
|
6
6
t2+t-6
6
|
24+1
=
6
30
|（t+
6
2
）2-
75
2
|（10分）
當(dāng)t=-
6
2
時，dmax=
6
30
•
75
2
=
5
6
4
，
即△MPQ面積的最大值為
1
2
×
25
2
×
5
6
4
=
125
6
16
．（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點.（Ⅰ）如果點A在圓（c為橢圓的半焦距）上，且|F1A|=c，求橢圓的離心率；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分16分）已知F1（－c,0）, F2（c,0） (c＞0)是橢圓的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，圓M的方程是．
（1）若P是圓M上的任意一點，求證：是定值；
（2）若橢圓經(jīng)過圓上一點Q，且cos∠F1QF2=，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若在曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”．下列方程：
①x2-y2=1；
②y=x2-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
4-y2

對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到兩點（-
3
，0），（
3
，0）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為曲線C，直線l過點E（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若AB中點橫坐標(biāo)為-
1
2
，求直線AB的方程；
（3）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
2
+y2=1的弦被點（
1
2
，
1
2
）平分，則這條弦所在的直線方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點．
（1）求點P的軌跡H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），確定q的值，使原點距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時，設(shè)l與x軸交點為D，當(dāng)直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，A（-1，0），B（1，0），過曲線C1：y=x2-1（|x|≥1）上一點M的切線l，與曲線C2：y=-
m(1-x2)
(|x|＜1)也相切于點N，記點M的橫坐標(biāo)為t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和點N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實數(shù)m取何值時，∠MAB=∠NAB？并求此時MN所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，且離心率為
3
2
．
（1）若過F1的直線交橢圓E于P，Q兩點，且
PF1
=3
F1Q
，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過點（0，1），且過F1作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

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同步練習(xí)冊答案