Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且c=2acosB，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：由（a+b+c）（b+c-a）=3bc，根據(jù)余弦定理算出cosA=

1

2

，得到A=60°．再由且c=2acosB，利用正弦定理和兩角和與差的正弦公式，算出sin（A-B）=0，得到A=B=60°，由此即可得到△ABC是等邊三角形．

解答：解：∵在△ABC中，（c+b+a）（c+b-a）=3bc，
∴c²+b²-a²=bc，可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，可得A=60°．
∵c=2acosB
∴由正弦定理，得 sinC=sin（A+B）=2sinAcosB，
展開化簡，得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，可得A=B=60°
因此，C=180°-（A+B）=60°
∴△ABC是等邊三角形

點評：本題在已知三角形邊的關(guān)系和邊角關(guān)系的情況下，判斷三角形的形狀．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形內(nèi)角和定理等知識，屬于中檔題．