Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上．
（1）求r的值；
（2）記b_n=na_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，試比較2S_n與T_n的大�。�

Answer 1

分析：（1）由“對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上”可得到S_n=2ⁿ+r，再由通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系可求得結(jié)果．
（2）由（1）得到a_n與S_n（n∈N^*），進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，作差比較2S_n與T_n的大小即可．

解答：解：（1）因?yàn)閷?duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上．
所以得S_n=2ⁿ+r，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2+r，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
又因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，所以a₁=1=2+r
故r=-1；
（2）由（1）可知，a_n=2^n-1，S_n=2ⁿ-1，n∈N^*
又由b_n=na_n（n∈N^*），則b_n=n2^n-1（n∈N^*），
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1       ①
                   2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ         ②
①-②得到：-T_n=2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-2+2^n-1-n×2ⁿ=

20(1-2n)

1-2

-n×2n     
即Tn=n×2n-2n+1=(n-1)×2n+1
所以Tn-2Sn=n×2n-2n+1-2×2n+2×1=(n-3)×2n+3
當(dāng)n=1時(shí)，T_n-2S_n=-1，∴T_n＜2S_n；
當(dāng)n=2時(shí)，T_n-2S_n=-1，∴T_n＜2S_n；
當(dāng)n＞2時(shí)，T_n-2S_n＞0，∴T_n＞2S_n．
綜上，當(dāng)n=1，2時(shí)，T_n＜2S_n；當(dāng)n＞2時(shí)，T_n＞2S_n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系，錯(cuò)位相減法求和等問(wèn)題，屬中檔題，是�？碱�(lèi)型．