Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=

sin( π 2 x)， x∈[-1，0) ax2+ax+1， x∈[0，+∞)

，若f（t-

1

3

）＞-

2

2

，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分類討論：當(dāng)-1≤t-

1

3

＜0時(shí)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；當(dāng)t-

1

3

≥0時(shí)，a＞0時(shí)，f（t-

1

3

）＞-

2

2

恒成立．

解答： 解：①當(dāng)-1≤t-

1

3

＜0時(shí)，f（t-

1

3

）=sin[

π

2

（t-

1

3

）]＞-

2

2

，
∴-

π

4

+2kπ＜

π

2

（t-

1

3

）＜

5π

4

+2kπ，
∴-

1

2

+4k＜t-

1

3

＜

5

2

+4k（k∈Z）．
又∵-1≤t-

1

3

＜0，∴-

1

2

＜t-

1

3

＜0，解得-

1

6

＜t＜

1

3

．
②當(dāng)t-

1

3

≥0時(shí)，f（t-

1

3

）=a（t-

1

3

）²+a（t-

1

3

）+1＞-

2

2

，及a＞0，恒成立，
∴t≥

1

3

．
綜上可知：實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-

1

6

，+∞）．
故答案為：（-

1

6

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題．