Question

若a₁，a₂，…，a_n是非零實(shí)數(shù)，且成等差數(shù)列，求證：

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)公差d=0時(shí)，易證結(jié)論；當(dāng)公差d≠0時(shí)，列項(xiàng)可得

1

an-1an

=

1

d

（

1

an-1

-

1

an

），結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式易證結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)公差d=0時(shí)，a_n=a₁，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=（n-1）

1

a12

=

n-1

a1an

；
當(dāng)公差d≠0時(shí)，

1

an-1an

=

1

d

（

1

an-1

-

1

an

），
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=

1

d

（

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an-1

-

1

an

）
=

1

d

（

1

a1

-

1

an

）=

1

d

•

an-a1

a1an

=

1

d

•

(n-1)d

a1an

=

n-1

a1an

綜上可得

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及裂項(xiàng)相消法和分類討論的思想，屬中檔題．