【題目】過直線上的點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)分別為，聯(lián)結(jié)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：直線恒過定點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)平分線段．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

設(shè)．則橢圓過點(diǎn)的切線方程分別為．因?yàn)閮汕芯�都過點(diǎn)，所以，．

這表明點(diǎn)均在直線①

上．由兩點(diǎn)決定一條直線知，式①就是直線的方程，其中滿足直線的方程．

（1）當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可理解為取遍一切實(shí)數(shù)，相應(yīng)的為．代

入式①消去得②

對一切恒成立．

變形可得對一切恒成立．

則．由此得直線恒過定點(diǎn)．

（2）當(dāng)時(shí)，由式②知．解得．

代入式②得的方程為③

將此方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得．

由此得截橢圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即．

代入式③可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)恰好為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即．

這就是說，點(diǎn)平分線段．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中.證明：的圖象在圖象的下方.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知元集合的一些子集滿足：每個(gè)子集至少含2個(gè)元素，每兩個(gè)不同子集的交集至多含2個(gè)元素，記這些子集的元素個(gè)數(shù)的立方和為.問：是否存在不小于3的正整數(shù)，使的最大值等于2009的方冪？說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）.潛伏期低于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期不低于平均數(shù)的患者，稱為“長潛伏者”.

（1）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），并計(jì)算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù)；

（2）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長短與患者年齡有關(guān)；

短潛伏者

長潛伏者

合計(jì)

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計(jì)

300

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】個(gè)人在某個(gè)節(jié)日期間互通電話問候，已知其中每個(gè)人至多打通了三個(gè)朋友家的電話，任何兩個(gè)人之間至多進(jìn)行一次通話，且任何三個(gè)人中至少有兩人，其中一個(gè)人打通了另一個(gè)人家里的電話，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義一個(gè)“希望結(jié)合”（）簡稱如下：為一個(gè)非空集合，它滿足條件“若，則”。試問：在集合中，一共有多少個(gè)“希望子集合”？請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)半徑為r的小球與一個(gè)半徑為R的大球在一個(gè)內(nèi)壁棱長為l的正四面體容器內(nèi)向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)。若，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是_________。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門為了讓全市居民認(rèn)識(shí)到冬天燒煤取暖對空氣數(shù)值的影響，進(jìn)而喚醒全市人民的環(huán)保節(jié)能意識(shí).對該市取暖季燒煤天數(shù)與空氣數(shù)值不合格的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出表數(shù)據(jù)：

（天）

（天）

（1）以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為依據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測該市燒煤取暖的天數(shù)為時(shí)空氣數(shù)值不合格的天數(shù).

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】袋中裝著10個(gè)外形完全相同的小球，其中標(biāo)有數(shù)字1的小球有1個(gè)，標(biāo)有數(shù)字2的小球有2個(gè)，標(biāo)有數(shù)字3的小球有3個(gè)，標(biāo)有數(shù)字4的小球有4個(gè).

現(xiàn)從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的8倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用表示取出的三個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：

（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

（2）隨機(jī)變量的分布列；

（3）計(jì)算介于20分到40分之間的概率.

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