Question

3．如圖，由圓O外一點(diǎn)A引圓的切線(xiàn)AB和割線(xiàn)ADE，B為切點(diǎn)，DE為圓O的直徑，且AD=DB．延長(zhǎng)AB至C使得CE與圓O相切，連結(jié)CD交圓O于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求$\frac{DE}{CE}$．
（Ⅱ）若圓O的半徑為1，求CF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OB，OC，證明△OBC≌△OEC，∠COE=60°，即可求$\frac{DE}{CE}$．
（Ⅱ）若圓O的半徑為1，利用切割線(xiàn)定理求CF．

解答 解：（Ⅰ）連接OB，OC，則
∵AB是切線(xiàn)，
∴OB⊥AB，
∵AD=DB，∴∠A=∠ABD，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，
∵OB=OD，∴BD=OD=OB，即△OBD是等邊三角形
∴∠BOD=60°，
∴∠BOE=120°，
∴OE⊥CE，OB⊥AB，OB=OE，OC=OC，
∴由HL可得△OBC≌△OEC，
∴∠COE=60°，
∴CE=$\sqrt{3}$OE
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CE=$\sqrt{3}$，DE=2，
∴CD=$\sqrt{7}$，
由切割線(xiàn)定理可得3=CF•$\sqrt{7}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，考查三角形全等的證明，考查切割線(xiàn)定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．