Question

13．在△ABC中，cosA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則△ABC中三邊的比a：b：c=$\sqrt{3}$：1：2．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，sinB，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，根據(jù)正弦定理，比例的性質(zhì)即可求得a：b：c=sinA：sinB：sinC的值．

解答 解：∵cosA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{1}{2}$，可得：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=1，
又∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴a：b：c=sinA：sinB：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$：$\frac{1}{2}$：1=$\sqrt{3}$：1：2．
故答案為：$\sqrt{3}$：1：2．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，考查了正弦定理，比例的性質(zhì)的應用，屬于基礎題．