Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，AB=1，$∠ABC=\frac{π}{3}$，E為PD中點，PA=1．
（I）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在點M，使得直線PC⊥平面BMD？若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）連接BD，交AC于點O，連接EO，由ABCD為菱形，可得：O為BD中點，利用中位線的性質(zhì)可證EO∥PB，利用線面平行的判定即可證明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若在棱PC上存在點M，使得直線PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．若PC⊥BM，由于PC⊥BO，可得PC⊥OM，由△COM∽△PAC，可得$\frac{CM}{AC}=\frac{CO}{PC}$，根據(jù)已知可求CM的值，即可得解．

解答 解：（I）證明：如圖，連接BD，交AC于點O，連接EO，
∵ABCD為菱形，可得：O為BD中點，
又∵E為PD中點，
∴EO∥PB，
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
解：（Ⅱ）在棱PC上存在點M，當(dāng)CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時，使得直線PC⊥平面BMD，理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又∵ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，
∴由PA∩AC=A，可得：BD⊥平面PAC，
∴由PC?平面PAC，可得：BD⊥PC，
∴若在棱PC上存在點M，使得直線PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．
∵若PC⊥BM，由于PC⊥BO，
∴PC⊥平面BOM，可得PC⊥OM，
∴△COM∽△PAC，可得：$\frac{CM}{AC}=\frac{CO}{PC}$，可得：$\frac{CM}{1}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$，解得：CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴在棱PC上存在點M，當(dāng)CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時，使得直線PC⊥平面BMD．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．