Question

2．已知函數(shù)f（x）=（2x+b）e^x，F(xiàn)（x）=bx-lnx，b∈R．
（1）若b＜0，且存在區(qū)間M，使f（x）和F（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求b的取值范圍；
（2）若F（x+1）＞b對任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，由導函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出函數(shù)F（x）的導函數(shù)，由b＜0，可得F′（x）＜0，則F（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)，要使存在區(qū)間M，使f（x）和F（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，需$-\frac{2}-1$＞0，求解可得b的范圍；
（2）由F（x+1）＞b對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx-ln（x+1）＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx-ln（x+1），求導可得b≤0時，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，而g（0）=0，不合題意；0＜b＜1時，$g（x）_{min}=g（\frac{1-b}）$=1-b+lnb＞0，得b∈∅；b≥1時，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，g（x）＞g（0）=0成立，從而可得b的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=（2x+b）e^x，f′（x）=（2x+b+2）e^x，
∴當x∈（-∞，-$\frac{2}-1$）時，f′（x）＜0，當x∈（-$\frac{2}-1$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的減區(qū)間為（-∞，-$\frac{2}-1$），增區(qū)間為（-$\frac{2}-1$，+∞）．
F（x）的定義域為（0，+∞），且F′（x）=b-$\frac{1}{x}=\frac{bx-1}{x}$．
∵b＜0，∴F′（x）＜0，則F（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)，
要使存在區(qū)間M，使f（x）和F（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，
則$-\frac{2}-1$＞0，即b＜-2．
∴b的取值范圍是（-∞，-2）；
（2）F（x+1）=b（x+1）-ln（x+1）．
要使F（x+1）＞b對任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx-ln（x+1）＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=bx-ln（x+1），則g′（x）=b-$\frac{1}{x+1}=\frac{bx+b-1}{x+1}$（x＞0）．
若b≤0，則g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，而g（0）=0，不合題意；
若0＜b＜1，則當x∈（0，$\frac{1-b}$）時，g′（x）＜0，當x∈（$\frac{1-b}$，+∞）時，g′（x）＞0，
∴$g（x）_{min}=g（\frac{1-b}）$=1-b+lnb＞0，得b∈∅；
若b≥1，則$\frac{1-b}≤0$，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，g（x）＞g（0）=0．
綜上，b的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基礎知識，以及綜合運用上述知識分析問題和解決問題的能力，屬難題．