已知增函數(shù)f（x）=
ax+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，其中b∈R，a為正整數(shù)，且滿足f（2）＜
4
5
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求滿足f（t2-2t）+f（t）＜0的t的范圍．
考點：其他不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：（1）由f（0）=0，求得b=0；再由f（2）=
2a
1+4
＜
4
5
，a 為整數(shù)，求得a=1，可得f（x）的解析式．
（2）不等式即 f（t2-2t）＜f（-t），再根據(jù)f（x）=
x
1+x2
=
1
x+
1
x
在（-1，1）上是增函數(shù)，可得-1＜t2-2t＜t＜1，由此求得t的范圍．
解答： 解：（1）由f（0）=0，求得b=0，
∴f（x）=
ax
1+x2
．
再由f（2）=
2a
1+4
＜
4
5
，求得a＜2，再根據(jù)a 為整數(shù)，可得a=1，
故f（x）=
x
1+x2
，（-1＜x＜）．
（2）不等式即 f（t2-2t）＜-f（t）=f（-t），再根據(jù)f（x）=
x
1+x2
=
1
x+
1
x
在（-1，1）上是增函數(shù)，
可得-1＜t2-2t＜t＜1，求得 0＜t＜1．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應用，注意函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，已知a+c=20，C=2A，cosA=
3
4
．
（1）求
c
a
的值；
（2）求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}中a4-a2=a2+a3=3
（1）求{an}前n項和Sn
（2）數(shù)列{bn}中，b1=-1，b2=0，且{bn}前n項和Tn滿足Tn+1+Tn-1=2Tn+1（n≥2，n∈N*）
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}通項公式．
（Ⅱ）設f（n）=
Sn
8
+
1
2bn
，試確定n（n∈N*）的值，使得f（n）取得最小值并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）探究函數(shù)f（x）=ax+
b
x
（a、b是正常數(shù)）在區(qū)間（0，
b
a
）和（
b
a
，+∞）上的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論，不要求證明）．并利用所得結(jié)論，求使方程f（x）-log4m=0有解的m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在一個盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個小球，現(xiàn)從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現(xiàn)從這個盒子中有放回地先后摸出兩球，所得分數(shù)分別記為x、y，設O為坐標原點，點P的坐標為（x-2，x-y），記ξ=|
OP
|2．
（1）求隨機變量ξ=5的概率；
（2）求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex+ax-2
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]的最小值；
（2）若a∈R討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；
（3）若對于任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，都有x2[f（x1）+a]＜x1[f（x2）+a]成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）與過焦點且斜率為1的直線交于A，B兩點，若|AB|=2．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點P（1，
2p
）作兩條直線PE，PF交拋物線于點E、F，若兩直線互相垂直，求證：EF恒過定點，并求出此點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn
（2）設{bn-an}是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，求{bn}的通項公式及前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a2x-1-1（a＞0，a≠1）過定點，則此定點坐標為
 
．

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